Самой первой тригонометрической функцией была хорда, соответствующая данной дуге. Для этой функции были построены первые тригонометрические таблицы (II в. до н. э.), нужные для астрономии.
Впервые в истории науки в период V-XII веков индийские математики и астрономы вместо полной хорды стали рассматривать половину хорды, которая соответствует современному понятию синуса. Величину половины хорды они назвали “архиджива”, что означало “половина тетивы лука”. Кроме sin x, индийцы рассматривали также величину 1 – cos x, которую они называли “комаджива”, и величину cos x – “котиджива”.
Понятие таких тригонометрических функций, как тангенс, котангенс, секанс и косеканс, определил совершенно строго, исходя из рассмотрения тригонометрического круга, иранский математик Абу-ль-Вефа.
Современные названия этих функций были даны в период с XV по XVII век европейскими учеными. Так, термин “тангенс” с латинского “касательная” был введен в XV веке основателем тригонометрии в Европе Региомонтаном.
В XVI веке Финк вводит термин “секанс”. В XVII веке помощник изобретателя десятичных логарифмов Бриггса ученый Гюнтер вводит название “косинус” и “котангенс”, причем приставка “ко” (co) обозначает дополнение (complementum).
Современные обозначения синуса и косинуса знаками sin x и cos x были впервые введены в 1739 году И. Бернулли в письме к петербургскому математику Л. Эйлеру. Последний пришел к выводу, что эти обозначения весьма удобны, и стал употреблять их в своих математических работах.
Кроме того, Эйлер вводит следующие сокращенные обозначения тригонометрических функций угла x: tang x, cot x, sec x, cosec x. Далее Эйлер установил связь тригонометрических функций с показательными и дал правило для определения знаков функций в различных четвертях круга. Эйлер установил современную точку зрения на тригонометрические как функции числового аргумента.
В1770 г. появилось и удерживается до наших дней название Тригонометрические функции. Его ввел Г. С. Клюгель в работе “Аналитическая тригонометрия”.
Трические функции представляют собой элементарные функции, аргументом которых является угол. С помощью тригонометрических функций описываются соотношения между сторонами и острыми углами в прямоугольном треугольнике. Области применения тригонометрических функций чрезвычайно разнообразны.
Так, например, любые периодические процессы можно представить в виде суммы тригонометрических функций (ряда Фурье). Данные функции часто появляются при решении дифференциальных и функциональных уравнений.
К тригонометрическим функциям относятся следующие 6 функций: синус, косинус, тангенс,котангенс, секанс и косеканс. Для каждой из указанных функций существует обратная тригонометрическая функция.
Геометрическое определение тригонометрических функций удобно ввести с помощью единичного круга. На приведенном ниже рисунке изображен круг радиусом r=1. На окружности обозначена точка M(x,y). Угол между радиус-вектором OM и положительным направлением оси Ox равен ?.
Синусом угла называется отношение ординаты y точки M(x,y) к радиусу r:
sin?=y/r.
Поскольку r=1, то синус равен ординате точки M(x,y).
Косинусом угла называется отношение абсциссы x точки M(x,y) к радиусу r:
cos?=x/r
Тангенсом угла называется отношение ординаты y точки M(x,y) к ee абсциссе x:
tan?=y/x,x?0
Котангенсом угла называется отношение абсциссы x точки M(x,y) к ее ординате y:
cot?=x/y,y?0
Секанс угла это отношение радиуса r к абсциссе x точки M(x,y):
sec?=r/x=1/x,x?0
Косеканс угла это отношение радиуса r к ординате y точки M(x,y):
csc?=r/y=1/y,y?0
В единичном круге проекции x, y точки M(x,y) и радиус r образуют прямоугольный треугольник, в котором x,y являются катетами, а r гипотенузой. Поэтому, приведенные выше определения тригонометрических функций в приложении к прямоугольному треугольнику формулируются таким образом:
Синусом угла называется отношение противолежащего катета к гипотенузе;
Косинусом угла называется отношение прилежащего катета к гипотенузе;
Тангенсом угла называется противолежащего катета к прилежащему;
Котангенсом угла называется прилежащего катета к противолежащему;
Секанс угла представляет собой отношение гипотенузы к прилежащему катету;
Косеканс угла представляет собой отношение гипотенузы к противолежащему катету.
Тригонометрические вычисления применяются практически во всех сферах жизнедеятельности людей. Следует отметить применение в таких областях как: астрономия, физика, природа, биология, музыка, медицина и многие другие.
Тригонометрия в астрономии:
Потребность в решении треугольников раньше всего обнаружилась в астрономии; поэтому, в течение долгого времени тригонометрия развивалась и изучалась как один из разделов астрономии.
Потребность в решении треугольников раньше всего обнаружилась в астрономии; поэтому, в течение долгого времени тригонометрия развивалась и изучалась как один из разделов астрономии.
Составленные Гиппархом таблицы положений Солнца и Луны позволили предвычислять моменты наступления затмений (с ошибкой 1—2 ч). Гиппарх впервые стал использовать в астрономии методы сферической тригонометрии.
Он повысил точность наблюдений, применив для наведения на светило крест нитей в угломерных инструментах — секстантах и квадрантах.
Ученый составил огромный по тем временам каталог положений 850 звезд, разделив их по блеску на 6 степеней (звездных величин). Гиппарх ввел географические координаты — широту и долготу, и его можно считать основателем математической географии.
Полное решение задачи об определении всех элементов плоского или сферического треугольников по трем данным элементам, важные разложения sin пх и cos пх по степеням cos х и sinx. Знание формулы синусов и косинусов кратных дуг дало возможность Виету решить уравнение 45-й степени, предложенное математиком А. Рооменом; Виет показал, что решение этого уравнения сводится к разделению угла на 45 равных частей и что существуют 23 положительных корня этого уравнения. Виет решил задачу Аполлония с помощью линейки и циркуля.
Решение сферических треугольников- одна из задач астрономии Вычислять стороны и углы любого сферического треугольника по трем подходящим образом заданным сторонам или углам позволяют следующие теоремы: (теорема синусов) (теорема косинусов для углов) (теорема косинусов для сторон).
Тригонометрия в физике:
В окружающем нас мире приходится сталкиваться с периодическими процессами, которые повторяются через одинаковые промежутки времени. Эти процессы называются колебательными. Колебательные явления различной физической природы подчиняются общим закономерностям и описываются одинаковыми уравнениями. Существуют разные виды колебательных явлений.
Гармоническое колебание — явление периодического изменения какой-либо величины, при котором зависимость от аргумента имеет характер функции синуса или косинуса. Если интересует значение -cos pi зайдите на сайт profmeter.com.ua.
Механические колебания. Механическими колебаниями называют движения тел, повторяющиеся точно через одинаковые промежутки времени.
Графическое изображение этой функции дает наглядное представление о протекании колебательного процесса во времени. Примерами простых механических колебательных систем могут служить груз на пружине или математический маятник.
Тригонометрия в природе. Мы часто задаем вопрос «Почему мы иногда видим то, чего нет на самом деле?». Для исследования предложены следующие вопросы: «Как возникает радуга? Северное сияние?», «Что такое оптические иллюзии?»,«Как тригонометрия может помочь найти ответы на эти вопросы?».
Впервые теория радуги была дана в 1637 году Рене Декартом. Он объяснил радугу, как явление, связанное с отражением и преломлением света в дождевых каплях.
Северное сияние Проникновение в верхние слои атмосферы планет заряженных частиц солнечного ветра определяется взаимодействием магнитного поля планеты с солнечным ветром.
Сила, действующая на движущуюся в магнитном поле заряженную частицу называется силой Лоренца. Она пропорциональна заряду частицы и векторному произведению поля и скорости движения частицы.